波函数Ψ的前世今生 (Jon Cartwright)

自1926年发表波动方程之后，埃尔文·薛定谔便备受称赞。爱因斯坦曾在写给他的信中称：“你的工作是真正的天才之作！”一个月后，薛定谔的同事，奥地利物理学家保罗·艾伦费斯特仍对此惊叹不已。他坦言道：“在过去的两周中，我们小组每天都要在黑板前花上几个小时，以求计算出所有优美的结果。”

八十多年后的今天，物理学家仍在试图掌握那些纷繁复杂的结果。薛定谔方程是历史上最著名的方程之一，描述任意体系的量子态如何随时间演化。它是量子力学的基石，而后者为我们带来了计算机、激光、太阳能电池和核反应堆。然而薛定谔方程的核心，也就是它的解，是一个很神秘的项，我们称之为波函数。物理学家都知道它，但它的意义到底是什么呢？它是否对应于某种真实的波呢？

这些问题看上去似乎无关紧要，但事实并非如此。原则上，任何物质都有波函数——电子、原子、人体、星球，甚至整个宇宙本身都是如此。如要把它们以真实的物质性的波刻画出来，往简单说都会是一个挑战。出于这个原因，很多物理学家都猜测波函数只是反映了我们对自然的有限认识。也许我们将来会发现一个更深层次的实在，无需借助波函数这一概念，就可以解释量子世界所有的谜团。

现在这个希望似乎已经不合时宜。根据英国一个物理团队提出的定理，波函数并不是什么近似性的认识，它确实具有某种物质性。这一结论在整个量子物理学界激起了回响，这让其中很多人开始疑虑我们能否对实在有一个直觉性的把握。

回溯经典
薛定谔自己从来没想过事情会如此展开。1925年，也就是他完成其重大成果的前一年，德国物理学家维尔纳·海森堡，马克斯·玻恩和帕斯卡·约尔丹利用一种被称为矩阵力学的方法解释了原子的结构。矩阵力学是一种需要大量处理数字的方法，进行运算时还需要考虑计算顺序。这一方法很不错，实际上它也是量子力学的第一个完整表述，但它不能向我们呈现出任何实在性的图像。薛定谔希望避开这种抽象的方法而回到连续、可视化的经典物理方式。

当时，要达到这一目的的方法已经初现端倪。在德国物理学家马克斯·普朗克的工作的基础上，爱因斯坦证明光既可以解释为波，又可以解释为粒子束，这种粒子后来被称为光子。随后，法国物理学家路易斯·德布罗意提出了一个更广泛的论断，即一种广义的“波粒二象性”，认为所有的物质都有一个波与之联系，反之亦然。薛定谔沿着这一思路前进，并做出了一个巨大飞跃，从而提出了他的波函数。波函数完全描述了一个原子（实际上任何体系都是如此）的状态如何随时间演化。它等效于一个运动方程，但这个方程必须能够满足量子体系所有奇特的类似波动性质的行为，比如粒子间会相互干涉，或者粒子看上去可以同时处于几个不同的地点。

不过没有人知道怎么解释这个方程的解的含义。这个解就是波函数，用希腊字母Ψ表示。如果Ψ确实对应于某种物质性的波，那这个波必然会很奇怪。和水波或声波这种存在于三个相似的空间维度的波不同，Ψ波存在于大量的抽象维中，其维数随着体系实体数的增大而迅速增大。（仅仅一小把粒子的波函数需要的维数就比整个宇宙中的原子数还要多，而宇宙中的原子大概有10的80次方个。）

然而最大的问题关乎测量。在量子力学的哥本哈根诠释中，处于某一量子态的体系有一个波函数按照薛定谔方程决定的方式进行演化。假设在这个状态下，体系没有确定的性质，也就是说，从某种程度上看，它所有的性质都是不确定的。但只要有一个观察者对该体系进行了一次测量，它的波函数就会坍塌：体系的性质会非决定性地（也就是随机地）确定下来。不管体系有多大，波函数的坍塌都是瞬时的，其机制至今仍无法得到解释。

面对这些让人头痛的问题，我们就不难理解为什么那么多物理学家会认为波函数只是对实际演变的事物的一个近似表述了。这样看来，我们将来会找到某个能够显示我们现在关于波函数的理论是不完全的认识的超级理论。

要理解这一点，我们最好来参考一个经典情形下的例子。假设一个粒子沿着一维运动。在任意时刻，粒子都有确定的位置和动量。这两个量足以完全确定粒子的状态。这样一个完全确定的态称为“实体（ontic）”态，或实在性的态：它能完全确定地表示出一段时间后这个粒子在做怎样的运动（“Ontic”来源于希腊语的on，意思是“存在”。）

当然，实验者可能只能以一定精度或概率知道粒子的位置和动量。这可能是因为仪器不够精密，也可能是因为实验者处理的性质是集体或宏观的。比如，温度就只能统计性地说明组份粒子的性质。在这种情况下，实验者可以说这个粒子处于一个“认知（epistemic）”态上。认知态是我们对一个态的部分知识：它表示粒子的有限信息（“Epistemic”来源于希腊语的episteme，意思是“知识”。）

如果波函数确实是对实在的完整表述，那么根据上面的定义，它就是实体态；而如果量子态只表示实在的部分信息，那么波函数就是一个认知态。认知观点（史称“隐变量”观点，因为它认为量子体系隐藏了某些信息）的支持者中包括许多知名的科学家，其中就有爱因斯坦。他在1945年写给同事的一封信里说：“我倾向于波函数不是（完全）描述真实事物的观点，它对我们来说，只不过是对某个真实存在的事物在经验上的最大认知。这就是我说量子力学对事物真实状态只能给出不完全描述的意思。”

怎么来证实爱因斯坦的这个认为波函数只是一个认知态，只是表示有限知识的态的观点呢？显然，物理学还没有哪个超级理论可以让量子力学暴露出波函数的任何不足。但实际上，如果有人能详细指出认知态和实体态之间的不同，那么超级理论就可有可无了。为讨论方便，我们先假设波函数是认知性的。也就是说，若一个物理学家为某个体系精心准备了一个确定的波函数（让我们称之为ψ1），该体系的真实态（实体态）还不是唯一确定的。这个由ψ1描述的体系实际上掩饰了几种可能的实体态，让我们记这些实体态为λ1、λ2、λ3等等。在ψ1下对某个确定的实体态λ的不可见选择可能是随即的，也可能不是；物理学家并不清楚自然是不是决定论的。但如果我们假设波函数是认知性的，那么它背后就一定有不止一种的可能的实体态（否则它就不是对一个态的有限认知了）。这样看来这似乎很好地阐明了什么是认知观点，其实不然：对波函数诠释的微秒不同可不仅仅是区分认知和实体这么简单。为了对认知观点给出一个更精确的定义，我们必须考虑这些不同的诠释。

首先，科学哲学家对实在本身便有根本的分歧。被称为实在论者的一方认为客观实体的存在与我们的认知无关，一个对象，就算我们不去观察它，它也是“存在着的”。而另一边的反实在论者认为，只有我们观察着的对象才可以说是自然存在的；他们认为物理学的唯一任务就是确保理论和观测一致。这就是量子力学正统学派的观点（它又被叫做“闷头只管计算”学派，据说这话是美国理论家理查德·费曼说的），认为讨论实体态是毫无意义的。这一点为许多量子力学的先驱所推崇，尤其是丹麦物理学家尼尔斯·玻尔。但这一观点在今天的科学哲学家中已渐渐退出主流，其部分原因在于它似乎是不可能被证伪的。

这样，持认知观点的人有两个选择：像爱因斯坦那样坚持实在论，或者像玻尔那样否定它。但那些持实体观点的人（自然，他们都是实在论者）也有两个选择。其一已经有所暗示：那就是认为波函数对应所有的实在。基于这一观点的最著名的例子是由美国物理学家休·埃弗里特于1957年首次提出的量子力学“多世界”诠释。这一观点认为所有可能发生的物理过程的结果会在无数不同的宇宙中出现。

另一个实体观点就方便多了。其支持者认为波函数对应于某种物质性的波，而波只是实在的一部分。持这一观点的一个流行理论是玻姆力学，它是以美国物理学家大卫·玻姆的名字命名的。在玻姆力学中，实在包括波和粒子，波是控制或“引导”粒子运动的。所以在这一情形下，只有波函数还不对应实在，它是实体态的一个“物理量”，而实体态还包括粒子的运动。

这样一共就有四种观点，即：实在论毫无意义，而波函数就是对观测的很好描述（玻尔）；实在是存在的，波函数是关于它的不完全描述（爱因斯坦）；波函数对应实在的一部分（玻姆）；波函数对应全部实在（埃弗里特）。到目前为止，除了第二、三点似乎比较相近，它们看上去似乎都没什么问题。那么，爱因斯坦式的表示实在部分内容的波函数和玻姆式的作为部分（而非全部）实在的波函数之间的区别是什么呢？通俗点说，后一个波函数对应于某种物质性的事物，而前者没有。但这两个观点在数学上的差别则很微妙。在最初的认知定义中，ψ1涉及几个实体态λ1、λ2、λ3等，但这对玻姆力学（其波函数是实在的一部分）里的ψ1也是对的。这里，ψ1可以完全表示玻姆的“引导波”，但对体系的完整描述还是需要诸如“粒子位置参量”之类的信息。

2010年，英国剑桥大学的数学物理学家罗伯特·司柏肯（Robert Spekkens，现在在加拿大滑铁卢市的圆周理论物理研究所）和伦敦帝国学院的尼古拉斯·哈里根（Nicholas Harrigan，现在是一名教师兼科学评论家，住在曼切斯特）提出了看待这个问题的新方法。按照他们的说法，我们来回顾一下沿一维运动的经典粒子的例子。如前所述，任意时刻它的实体态都可以由它的位置和动量完全确定。但现在我们来考察它的能量。这个粒子可以停留在很多（也许是无限）不同的实体态上，如(x1,p1)、(x2,p2)、(x3,p3)等，而具有相同的能量E1。或者反过来说，能量E1不一定就只对应一个实体态。这说明只有能量（就像爱因斯坦的认知波函数和玻姆的“部分实在”波函数那样）不能完全确定实在。

不过，先不管这些不足，我们知道，物体总是“有”能量的，它就像玻姆的波函数那样，确实是实在的一部分。为什么这么说呢？司柏肯和哈里根称：秘密就在于，虽然一个能量对应了许多种实体态，但一个实体态（位置和动量的单值数对）只对应一个能量。换句话说，不会有两个数值不同的能量E1和E2对应于同一对位置和动量(x1,p1)。（例如，考察挂在一根弹簧上的物体的能量，如果把它的质量和弹簧常数设为1，那么能量就可以写成E= 1/2(p2+x2)）如果有两个能量值对应于同一对位置和动量，那么能量就不是一个物理量，它就不会是实在的一部分。

司柏肯和哈里根的定义很简洁，而且是第一次给出了一种精确的方式来区分实体和认知实在论者的观点。如果单个实体态λ1也只对应于一个波函数ψ1，那么波函数至少一定是实在的一部分，也一定对应于某种物质性的波。这样，实体观点（不论玻姆式或埃弗里特式）就一定是对的。另一方面，如果一个实体态λ1有时会对应两个或更多波函数ψ1、ψ2等，那么波函数一定就只表示实在的部分内容，这样爱因斯坦的认知观点就是对的。

既然实体观和认知观之间存在一个根本的区别，这就说明一定有办法证明它们中的哪一个是对的。也许有人可以证明在某种情形下单个实体态会对应至少两个不同的波函数，这就可以证明玻姆和埃弗里特是错的，而大家则会站到爱因斯坦一边，或放弃实在论。

去年，伦敦帝国学院的物理学家Terry Rudolph和Matthew Pusey），以及伦敦大学皇家霍洛威学院的数学家Jonathan Barrett共同接手了这一挑战。他们发展了一个理论，来验证认知和实体这两种实在论中哪一种与量子力学的预测相容。他们的证明多少有些复杂，但我们可以通过一个思维实验简单地对其做一个了解。

想象有这样一种掷骰机，它会用两种特殊的方式掷出一个普通的六面骰子，至于会用哪种方式则取决于其上两个的按钮中哪个被摁下。摁下标有“偶”（偶数）的按钮，机器就会保证掷出三个偶数点数之一，即二、四或六。摁下标有“质”（质数）的按钮，机器就会保证掷出三个质数点数之一，即二、三或五。

实验的下一步就是放置两台这样的机器，调整好位置使它们能够同时将骰子掷入一个测量盒中。测量盒上有四盏灯，代表偶数和质数的四种组合：“非偶偶”、“非偶质”、“非质偶”、“非质质”。这些灯一开始是红的，但一旦骰子进入盒内并被测量，对应相应结果的灯就会变绿。

鲁道夫、普西和巴雷特提出一个相当简明的问题：测量盒是否总会有至少一盏灯变绿？初看答案似乎是肯定的。比如，如果机器掷出六和五，测量盒就会分析出六只能是被摁了“偶”按钮的机器掷出，而五只会是被摁了“质”按钮的机器掷出：按钮组合一定是“偶质”。因此，“非偶质”仍然是红的，而其它三盏灯（也即“非偶偶”、“非质偶”和“非质质”）会变绿。如果机器掷出二和五，情况就更复杂些，因为“二”可能是被“偶”或“质”掷出的，偶质和质质的按钮组合都可以得到这一结果。不过，测量盒仍会有两盏绿灯，即“非偶偶”和“非质偶”。那么，这么看似乎测量盒确实总会有至少一盏绿灯是亮的。

但如果机器掷出了两个二呢？现在测量盒就陷入困难了。两个二都可以来自“偶”或“质”按钮，我们不能排除任何一种组合——也就是说，没有一盏灯能变绿。实际上，这一特殊情况证明了“偶”和“质”按钮是认知态，因为按照司柏肯和哈里根的定义，它们有时对应于同一个实体态：二。

现在我们将骰子换成量子版的。这次机器就不是掷出偶数或质数了，而是把量子骰子“掷到”两个波函数ψ1和ψ2之一。相应地，测量盒的结果变为“非ψ1ψ1”、“非ψ1ψ2”、“非ψ2ψ1”和“非ψ2ψ2”（图3b）。不过问题还是一样：测量盒能否至少亮起一盏绿灯？如果存在一种情形使之不能，即四盏灯都保持红色，那么它将证明至少有一台机器像在经典版本中那样将骰子掷到一个既可以对应于ψ1又可以对应于ψ2的实体态或“数”上（就像“二”的实体态既可以对应偶数也可以对应质数那样）。在这样的情况下，物理学家就不知道这个神秘的实体态数字是多少了，但他们知道它起码是存在的，而这就足以证明波函数是认知的了。但令人惊讶的是：量子力学预言这种情形是不可能出现的（请参见后面“量子版掷骰实验”一节）。它预言说不论我们怎么选择波函数对ψ1和ψ2，测量盒都会亮起一盏绿灯。

普西、巴雷特和鲁道夫的定理现在被称为PBR定理，它本质上像是一道最后通牒。如果量子力学是正确的，那么波函数就不会是认知的：它不仅仅是表示实验者对实在的部分认识，它一定是实体的，并且直接对应于部分（玻姆式的）或全部（埃弗里特式的）实在。

当然，量子力学也可能是错误的。实际上，研究者们也准备了一个实验计划来检验根据上述三人的理论做出的特定的量子力学预测。不过，你必须要有特别开放的想法才会把赌押在认知的结果（即存在某个情形使得没有一盏绿灯亮着）上。在整个量子力学史中，量子力学的预测还从未出过错。认知预测与量子力学预测不符这一事实暗示了波函数至少对应于一部分实在，或者说对应着某种物质性的波。爱因斯坦说过一句名言，即上帝“不掷骰子”，然而，这次骰子坑了他。

面对这一事实，爱因斯坦的追随者们剩下三个选择（请再次参见图2）：如果他们仍要将波函数视为是认知的，那么他们简直就是抛弃了科学实在论：虽然其中很多人也认为这是一个重大的牺牲。这样，要保持实在论就只剩下两个观点了。一个观点认为波函数是实在的一部分，就像玻姆力学中波引导粒子运动那样。另一个观点认为波函数就是全部实在，就像埃弗里特的量子力学“多世界”诠释那样。

英国牛津大学的物理哲学家大卫·华莱士（David Wallace）是多世界诠释的支持者。他相信PBR定理是是他职业生涯（他现年36岁）中出现的关于量子力学基础最重要的结论。他说：“从那些希望埃弗里特诠释正确的人的角度看，这是一个好消息。不过，作为一个讲道德的人，我未必希望埃弗里特的诠释是对的；我想知道事实是怎么一回事。”华莱士指出，现在已经有很好的理由怀疑认知观点。他说，理由之一是粒子可以与另一个粒子发生干涉这一实验证据。这种干涉完全是波的性质，它说明波函数不仅仅是实在的一部分内容。

但这还不是爱因斯坦式观点的终结。PBR定理依赖于某些假设，其中最重要的一点是：独立构建的体系具有独立的物理状态。量子力学理论家及哲学家现在可以对这些假设提出异议了，但这个过程想必并不简单。华莱士说：“如果始终没有人能够提出一个回避PBR假设的理论，那我可就要大跌眼镜了。这条路的结果会如何，我不知道，但我现在看到的东西让我略感绝望。”

不过，量子力学已经迫使物理学家放弃了很多有关自然的坚信不疑的假设。让爱因斯坦持认知观点的原因之一是，量子力学有这样一个推论：量子力学可以同时引发两个相距很远的体系的变化。这一现象被爱因斯坦称为“鬼魅超距行为”。他的这一反对被北爱尔兰物理学家约翰·贝尔（John Bell）1964年发表的一条定理挫败了，这条定理证明了任何关于自然的理论，不论认知与否，都必须是非定域的。[译注：其实这里作者说得夸张了一点。贝尔当时提出的并不算是定理，而是一条判据，称为贝尔不等式。如果不等式成立，则物理理论就应该是定域实在的，反之则不是。后来的实验证明了不等式不成立。]

虽然鲁道夫的证明支持实体诠释，他本人却是认知诠释的支持者。他相信一定有超越波函数的物理机制，但他对这一点也仅限于假设。他说：“我们所说的东西一定程度上都与空间和时间相关，虽然这样听上去似乎显得很抽象。我准备了这个，然后去测量那个，就是这样。所以，尽管空间和时间的出现显得毫不违和，但我认为我们终将会知道，空间和时间只不过是我们这群灵长类动物造出来方便使用的概念，宇宙万物实际的运行才不会去管什么空间和时间呢。”

我们需要进行一些矢量运算来展示怎么用量子力学处理图3中的骰子实验。我们将第一个波函数|ψ1〉用|0〉表示，第二个波函数|ψ2〉用|+〉表示，而|+〉=1/√2(|0〉+|1〉) 。简而言之，就是|ψ1〉相当于“0”方向上的单位矢量，而|ψ2〉相当于指向“0”和“1”方向之间的单位矢量。为方便起见，我们把它标为“+”方向（这里的乘子1/√2是为了使矢量保持为单位长）。|0〉和 |1〉矢量是相互垂直的（或称“正交”）的，这个的意思是，它们的内积〈0|1〉等于0。与矢量|+〉正交的是|–〉，|–〉=1/√2(|0〉– |1〉)。

当量子骰子被掷入测量盒内之后，根据量子力学，用上述矢量表示每盏灯变绿的概率如下：

|非ψ1ψ1〉=1/√2(|0〉⊗|1〉+|1〉⊗|0〉)

|非ψ1ψ2〉=1/√2(|0〉⊗|–〉+|1〉⊗|+〉)

|非ψ2ψ1〉=1/√2(|+〉⊗|1〉+|–〉⊗|0〉)

|非ψ2ψ2〉=1/√2(|+〉⊗|–〉+|–〉⊗|+〉)

假设掷骰机将一枚骰子掷到波函数ψ1(|0〉)，而将另一枚掷到波函数ψ2(|+〉)。我们先计算概率P的平方根，结果（以“非ψ1ψ1”的概率为例）如下：

√P =〈0|〈+||非ψ1ψ1〉

= 1/√2(〈0|0〉⊗〈+|1〉+〈0|1〉⊗〈+|0〉)

= 1/√2(1/√2)

= 1/2

因此，“非ψ1ψ1”灯变绿的概率为(1/2)2= 1/4。类似的计算得出，“非ψ2ψ2” 灯变绿的概率也是1/4，而“非ψ2ψ1” 灯变绿的概率为1/2。出现“非ψ1ψ2”的概率——你应该能猜到，因为骰子处在ψ1和ψ2态——为0 ；它的灯一直都是红的。

这说明测量盒“非ψ1ψ1”、“非ψ2ψ2”或“非ψ2ψ1”这三盏灯中总有一盏会变绿。其实，可以证明，骰子波函数的任意组合（ψ1和ψ1，ψ2和ψ1等）都一定会让一盏灯变绿。或者换句话说，就是根据量子力学，出现四盏灯变绿的概率都是零（而这正好就是在经典骰子中掷出一对二时发生的情况）的结果是不可能的。

虽然上面的论证使用了两个特殊的波函数为例，但鲁道夫、巴雷特和普西已经建立了一个普遍的论证，适用于任意一对波函数。